Bessel Function for FM Analysis

Artikel sebelumnya membahas FM sampai dengan persamaan yang umum digunakan untuk merepresentasikan FM jika sinyal baseband nya adalah sebuah sinyal sinusoidal. Sinyal FM memiliki hubungan yang nonlinear antara keluaran modulasi x_{FM}(t) dengan sinyal baseband m(t), sehingga sulit untuk menganalisis sinyal FM. Contohnya untuk menghitung bandwidth yang dibutuhkan oleh sinyal FM, digunakan sinyal sinusoidal dengan frekuensi tertinggi yang ada pada sinyal baseband.

Bessel Function and Identities

Fungsi Bessel adalah fungsi yang dipakai untuk menghitung side-band yang dihasilkan dari sebuah sinyal sinusoidal yang dimodulasi secara modulasi frekuensi pada sebuah sinyal pembawa. Fungsi Bessel adalah solusi y(x) dari persamaan diferensial Bessel:

\displaystyle x^2 \frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-\alpha^2)y = 0

Karena persamaan diferensial Bessel ini adalah persamaan differensial orde dua, maka terdapat dua solusi untuk persamaan tersebut, fungsi Bessel pertama (J_\alpha) dan fungsi Bessel kedua (Y_\alpha).

besselfunction
Gambar 1. Fungsi Bessel Pertama J_\alpha

Fungsi Bessel yang digunakan untuk FM adalah fungsi Bessel pertama (J_\alpha). Fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar 1, selain itu beberapa persamaan identitas dari fungsi Bessel adalah sebagai berikut:

\displaystyle \cos\big(z \sin(\theta)\big) = J_0(z) + 2\sum_{k=1}^{\infty}J_{2k}(z) \cos(2k\theta)

\displaystyle \sin\big(z \sin(\theta)\big) = 2\sum_{k=0}^{\infty} J_{2k+1}(z)sin\big((2k+1)\theta\big)

\displaystyle J_{-n}(z) = (-1)^nJ_n(z)

Bessel Function for FM Signal

Sinyal modulasi frekuensi dengan sinyal baseband sinusoidal dapat dituliskan dengan persamaan:

\displaystyle x_{FM}(t) = A_c \cos\big(2\pi f_ct+\beta \sin(2\pi f_mt)\big)

Untuk mendapatkan persamaan yang dapat direpresentasikan dengan fungsi Bessel, pertama gunakan identitas trigonometri untuk mendapatkan persamaan:

\displaystyle x_{FM}(t) = A_c \Big(\cos (2\pi f_ct)\cos\big(\beta \sin(2\pi f_mt)\big) - \sin(2\pi f_ct) \sin \big(\beta \sin(2\pi f_mt)\big)\Big)

Kita dapat mengambil bagian persamaan pertama: A_c\cos(2\pi f_ct)\cos(\beta \sin(2\pi f_mt)) dengan fungsi identitas Bessel menjadi:

\displaystyle A_c \cos(2\pi f_c t)\bigg(J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^{\infty} J_{2k}(z)\cos(2kf_mt)\bigg)

Menggunakan persamaan trigonometri 2\cos A\cos B = \cos (A-B) + \cos (A+B), didapatkan persamaan sebagai berikut:

\displaystyle A_c\Big(J_0(\beta)\cos(2\pi f_ct) + \sum_{k=1}^{\infty} J_{2k}(\beta)\big(\cos(2\pi(f_c - 2kf_m)t) + \cos(2\pi(f_c + 2kf_m)t)\big)\Big)

Mengetahui bahwa 2k adalah bilangan genap dan identitas Bessel J_{-n}(z) = (-1)^nJ_n(z) maka persamaan di atas dapat diubah menjadi:

\displaystyle A_c\sum_{n \in bilangan bulat genap} J_n(\beta)cos(2\pi (f_c+nf_m)t)

Kita dapat mengambil bagian kedua pada persamaan awal: A_c\sin(2\pi f_ct)\sin(\beta\sin(2\pi f_mt)) dengan fungsi identitas Bessel menjadi:

\displaystyle A_c\sin(2\pi f_ct)\bigg(2\sum_{k=0}^{\infty} J_{2k}(\beta)\sin((2k+1)f_mt)\bigg)

Dengan menggunakan persamaan trigonometri 2\sin A\sin B = \cos (A-B) - \cos(A+B), didapatkan persamaan sebagai berikut:

\displaystyle A_c\sum_{k=0}^{\infty} J_{2k+1}(\beta) \bigg(\cos(2\pi (f_c-(2k+1)f_m)t) - \cos(2\pi (f_c+(2k+1)f_m)t)\bigg)

Mengetahui bahwa 2k+1 adalah bilangan ganjil, maka identitas Bessel J_{-n}(z) = (-1)^nJ_n(z) dapat dipakai pada persamaan di atas untuk mendapatkan

\displaystyle -A_c\sum_{n \in bilangan bulat ganjil}J_n(\beta)\cos(2\pi(f_c+nf_m)t)

Menambahkan kedua bagian bilangan ganjil dan bilangan genap kita mendapatkan sinyal FM dengan fungsi Bessel sebagai berikut:

\displaystyle A_c \sum_{k=-\infty}^{\infty} J_k(\beta)\cos(2\pi (f_c+kf_m)t)

FM Signal in Frequency Domain

Jika kita melakukan transformasi Fourier pada fungsi di atas, maka kita akan mendapatkan fungsi:

\displaystyle \frac{A_c}{2} \sum_{k=-\infty}^{\infty} J_k(\beta)\Big(\delta (f-f_c-f_m)+\delta (f+f_c+f_m)\Big)

Screenshot from 2019-03-25 21.01.58
Gambar 2. Representasi sinyal FM pada domain frekuensi (Sumber: INFN)

Jumlah sideband dapat dihitung berdasarkan tabel Bessel pada Gambar 3, besaran sideband dapat dipakai untuk menghitung berapa besar bandwidth yang dibutuhkan oleh sebuah sinyal FM. Namun untuk mengaproksimasi bandwidth sinyal FM, persamaan Carson sering dipakai sebagai panduan mengukur bandwidth yang lebih praktis. Nilai bandwidth dapat diaproksimasi dengan persamaan:

\displaystyle BW_{FM} = 2(\beta + 1)f_m

Screenshot from 2019-03-25 21.21.48
Gambar 3. Tabel Bessel (Sumber: USNA)

Pendekatan bandwidth menggunakan persamaan Carson ini lebih praktis akibat sideband paling besar yang ada di tabel Bessel memiliki magnituda yang dapat diabaikan. Nilainya jauh lebih rendah daripada carrier, yakni di bawah -10dBc.

Pada artikel selanjutnya, pembahasan tentang FM akan berlanjut dengan demodulasi FM.

Diterbitkan oleh josefmtd

Junior Electronics Engineer

Tinggalkan komentar

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: